Положительно определенная матрица

  • автор:

Пусть матрица СЛАУ (5) симметричная и положительно определенная, т.е.: и для любого ненулевого вектора соответствующей размерности . Поскольку для положительно определенной матрицы выполняется критерий Сильвестра, то определители всех главных подматриц матрицы не равны нулю (они строго больше нуля), т.е. для выполнены условия теоремы об LU-разложении и для нее единственно разложение вида:

,

где — нижняя с единицами на главной диагонали и верхняя треугольные матрицы соответственно, причем диагональные элементы матрицы .

Представим матрицу в следующем виде:

,

тогда

. (50)

В силу симметричности матрицы имеем:

Итак, , где — нижние треугольные матрицы с единицами на главной диагонали, и — верхние треугольные матрицы с положительными диагональными элементами. LU-разложение определяется однозначно, поэтому:

,

а разложение (50) будет иметь вид:

Поскольку элементы матрицы положительные, представим ее в виде:

тогда

(50)

Разложение (50) называется разложением Холесского для симметричной положительно определенной матрицы.

Мы доказали

Теорему. Если — симметричная положительно определенная -матрица, то существует и единственно ее треугольное разложение , называемое разложением Холесского, где — нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами.

Построение симметричного разложения Холесского производится аналогично тому, как строится LU-разложение матрицы.

Метод Холесского для СЛАУ с симметричной и положительно определенной матрицей , основанный на разложении Холесского матрицы СЛАУ, выглядит следующим образом:

Шаг 1. Построить разложение Холесского матрицы СЛАУ: ;

Шаг 2. Решить СЛАУ , в результате решения получить вектор ;

Шаг 3. Решить СЛАУ , в результате решения получить искомый вектор .

Пример. Пусть требуется решить СЛАУ

Матрица СЛАУ является симметричной, т.к. , и положительно определенной, поскольку . Таким образом, для решения данной СЛАУ можно воспользоваться методом Холесского.

Шаг 1.

Формулировки

Пусть будет эрмитовой матрицей размерности . Обозначим транспонированный вектор посредством , а сопряжённый транспонированный вектор — посредством .

Матрица является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

1. Для всех ненулевых комплексных векторов,

Отметим, что величина всегда вещественна, поскольку — эрмитова матрица.

2. Все собственные значения, , положительны. Любая эрмитова матрица по теореме о спектральном разложении может быть представлена как вещественнаядиагональная матрица, переведённая в другую систему координат (то есть , где — унитарная матрица, строками которой являются ортонормальные собственные векторы, образующие базис). По этому определению — положительно определённая матрица, если все элементы главной диагонали (или, другими словами, собственные значения) положительны. То есть в базисе, состоящем из собственных векторов, действие на вектор равносильно покомпонентному умножению на положительный вектор.
3. Полуторалинейная форма

определяет внутреннее произведение в . Обобщая сказанное, любое внутреннее произведение в образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.

4. — матрица Грама, образованная из множества линейно независимых векторов

для какого-то . Другими словами, элементы определены следующим образом

Таким образом, , где инъективная, но не обязательно квадратная матрица.

5. Определители всех угловых миноров матриц положительны (критерий Сильвестра).

В соответствии с этим критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера

Для вещественныхсимметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство может быть заменено на , а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формы

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть будет полем вещественных () или комплексных () чисел, а будет векторным пространством над . Эрмитова форма

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным , будет . Такая функция называется положительно определённой, когда для любого ненулевого .

Отрицательно определённая, полуопределённая и неопределённая матрицы

Эрмитова матрица размерности будет называться отрицательно определённой, если

для всех ненулевых (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых ).

будет называться положительно полуопределённой, если

для всех (или, эквивалентным образом, для всех ).

будет называться отрицательно полуопределённой, если

для всех (или, эквивалентным образом, для всех ).

Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны.

Матрица будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.

Для любой матрицы выполняется следующее: — положительно полуопределённая, а . Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица может быть выражена как (разложение Холецкого).

Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.

О свойствах положительно определенных матриц

Подобным образом можно определить отношение полного порядка.

1.

Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если , то .

2. Если — положительно определённая матрица и , то положительно определённая матрица.

Если and — положительно определённые матрицы, то произведения и тоже положительно определённые. Если , то тоже положительно определённая.

3. Если — положительно определённая матрица, то элементы главной диагонали положительны. Следовательно, . Более того, .
4. — положительно определённая матрица тогда и только тогда, когда существует положительно определённая такая, что . Обозначим . Такая матрица единственна при условии, что . Если , то .
5. Если and — положительно определённые матрицы, то (где обозначает произведение Кронекера).
6. Если and — положительно определённые матрицы, то (где обозначает произведение Адамара). Когда вещественные матрицы, выполняется также следующее неравенство (неравенство Оппенхейма):
7. Если — положительно определённая матрица, а — эрмитова матрица и , то .
8. Если and — положительно полуопределённые вещественные матрицы, то .
9. Если — положительно определённая вещественная матрица, то существует число такое, что , где — единичная матрица.

Неэрмитовы матрицы

Вещественные несимметрические матрицы тоже могут удовлетворять неравенству для всех ненулевых вещественных векторов . Такой, к примеру, является матрица

поскольку для всех ненулевых вещественных векторов

Обобщая, для всех ненулевых вещественных векторов тогда и только тогда, когда симметрическая часть положительно определённая.

Для комплексных матриц существует несколько обобщений неравенства . Если для всех ненулевых комплексных векторов , тогда матрица эрмитова. То есть если , то эрмитова. С другой стороны, для всех ненулевых комплексных векторов тогда и только тогда, когда эрмитова часть положительно определённая.



Пусть множество комплексных чисел, — декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами.

Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным. Если выполняется условие при всех ненулевых , то матрица называется строго положительно определенным.

Если матрица является положительной, то говорят, что .

Если при всех выполняется равенство , то матрица называется эрмитовой или самосопряженной.

Приведем некоторые факты о положительно определенных матриц.

Предложение 1. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все собственные значения неотрицательны. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все собственные значения положительны.

Предложение 2. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее главные миноры неотрицательные. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все главные миноры положительные.

Предложение 3. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существует матрица такая, что . Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда матрица не сингулярная.

Предложение 4. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существует положительная матрица такая, что . Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда матрица строго положительна.

Заметим, что в Предложение 4, матрица является единственной, и она называется квадратным корнем матрицы и обозначается через .

Пусть евклидово пространство, т. е. линейное пространство со скалярным произведением.

Теорема 1. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существуют элементы такие, что,

Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда элементы , линейно независимы.

Рассмотрим пример на применении теоремы 1.

Пример 1. Пусть фиксированные вещественные положительные числа. Определим матрицу размера с элементами

Такая матрица называется матрицей Коши. Тогда имеет место соотношение

Если , , то и при всех имеет место равенство , где для элементов справедливо равенство

В силу теоремы 1 матрица является положительной.

Если и положительные эрмитовы матрицы, то также положительная эрмитова матрица.

СЛАУ с симметричными положительно определенными матрицами. Метод Холесского

Произведение матриц является эрмитовым тогда и только тогда, когда и коммутативные матрицы.

Матрица называется симметрическим произведением матриц и . Если матрицы и эрмитовы, то также эрмитова. Вообще говоря, из положительности матриц и не всегда вытекает положительность матрицы .

Пример 2. Для любых определим эрмитовы матрицы

, .

Видно, что если , то матрица является положительно определенной. Для любого элемента имеет место равенство

Через обозначим аргумент комплексного числа . Тогда имеет место равенство . Поэтому квадратичная форма записывается в виде . Таким образом, при матрица является положительно определенной. По определению имеет место равенство

,

следовательно, для любого элемента имеет место равенство

При этом, если близко к нулю, а близко к 1, то матрица не является положительно. Например, для элемента имеет место равенство . Если положить и , то .

Пусть и эрмитовы матрицы и матрица строго положительна. Если симметрическое произведение является положительным (строго положительным), то матрица также является положительным (строго положительным).

Литература:

В линейной алгебреположи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

Введём обозначение для положительно полуопределённых матриц и — для положительно определённых матриц.

Для произвольных квадратных матриц будем писать , если , то есть положительно полуопределённая матрица. Таким образом, отношение определяет частичный порядок на множестве квадратных матриц. Подобным образом можно определить отношение полного порядка.

1.

Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если , то .

2. Если — положительно определённая матрица и , то положительно определённая матрица.

Если и — положительно определённые матрицы, то произведения и тоже положительно определённые. Если , то тоже положительно определённая.

3. Если — положительно определённая матрица, то элементы главной диагонали положительны. Следовательно, . Более того, .
4. — положительно определённая матрица тогда и только тогда, когда существует положительно определённая

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *